ΜΕΡΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Στο παρόν βιβλίο εισάγουμε τον αναγνώστη στη θεωρία των μερικών διαφορικών εξισώσεων. Η γενική κατεύθυνση που ακολουθήσαμε βασίζεται στον εξής στόχο : να είναι κανείς σε θέση να αναγνωρίζει βασικές και κλασικές μερικές διαφορικές εξισώσεις που συναντώνται συχνά στις εφαρμογές και να χρησιμοποιεί τα βασικά εργαλεία - μεθόδους του αντικειμένου, προκειμένου να επιλύει μια κατηγορία βασικών προβλημάτων. Μηχανικοί, μαθηματικοί και φυσικοί μπορούν να χρησιμοποιήσουν το βιβλίο αυτό ως ένα χρήσιμο κείμενο αναφοράς. Το κείμενο χωρίζεται σε εννέα κεφάλαια. Τα δύο πρώτα είναι εισαγωγικά, στις σειρές Fourier και τα αυτοσυζυγή, Sturm – Liouville προβλήματα συνοριακών τιμών και το τρίτο κεφάλαιο αφορά τη γενική θεωρία και την ονοματολογία των μερικών διαφορικών εξισώσεων, καθώς και την επίλυση ειδικών περιπτώσεων αυτών. Στο τέταρτο κεφάλαιο μελετούμε εξισώσεις πρώτης τάξης, γραμμικές και σχεδόν γραμμικές, ενώ μια παράγραφος αφορά αποκλειστικά την εξίσωση του Burgers. Στο πέμπτο κεφάλαιο μελετούμε γραμμικές εξισώσεις δεύτερης τάξης στον R 2 . Τα επόμενα τρία κεφάλαια αφορούν την επίλυση κλασικών μερικών διαφορικών εξισώσεων που συναντά κανείς συχνά σε φυσικά προβλήματα και συγκεκριμένα :(1) εξίσωση θερμότητας, (2) εξίσωση κύματος, (3) εξίσωση Laplace. Το ένατο και τελευταίο κεφάλαιο αφορά τη χρήση ολοκληρωτικών μετασχηματισμών στην επίλυση προβλημάτων μερικών διαφορικών εξισώσεων σε μη φραγμένα χωρία και παρουσιάζουμε τους μετασχηματισμούς Fourier, τον κλασικό, τον συνημιτονικό και τον ημιτονικό, καθώς και το μετασχηματισμό Laplace. Κάθε κεφάλαιο περιέχει πλήθος υποδειγματικά λυμένων προβλημάτων, τα οποία και έχουμε κατηγοριοποιήσει ανά θεματική ενότητα. Σημειώνουμε ότι πολλά από τα προβλήματα αυτά έχουν αποτελέσει θέματα εξετάσεων σε πολυτεχνικές/μαθηματικές σχολές. Το τελευταίο μέρος του βιβλίου περιέχει, για γρήγορη αναφορά του αναγνώστη, ένα βασικό τυπολόγιο στις μερικές διαφορικές εξισώσεις. Στο τυπολόγιο αυτό περιέχονται συγκεντρωτικά, μεταξύ άλλων, και βασικές γνώσεις από τη θεωρία των συνήθων διαφορικών εξισώσεων, που προαπαιτούνται ώστε να ξεκινήσει κανείς να επιλύει μερικές διαφορικές εξισώσεις.